gdzie oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.
Funkcja zeta Riemanna
Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej o części rzeczywistej zachodzi równość
Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,
zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.
Ponadto
Szeregi
Funkcja występuje w następujących szeregach zbieżnych:
który jest zbieżny dla Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej zachodzi
również dla
Związek z funkcjami trygonometrycznymi
Spójrzmy na ciąg ułamków
Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:
Utwórzmy sumę:
Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie
↑August FerdinandA.F.MöbiusAugust FerdinandA.F., Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen, „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, 9, 1832, s. 105–123(niem.).
↑ abTom M.T.M.ApostolTom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-12-11](ang.).
↑Edward C.E.C.TitchmarshEdward C.E.C., D.R.D.R.Heath-BrownD.R.D.R., The theory of the Riemann zeta-function, wyd. 2. ed., repr, Oxford science publications, Oxford: Clarendon Pr, 2007, ISBN 978-0-19-853369-6 [dostęp 2023-12-11]. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Möbius Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12](ang.).