| Ten artykuł od 2011-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.
Twierdzenie
Jeśli ciąg ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych istnieje i jest jej równa.
Jeśli ponadto dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych i harmonicznych mają tę samą granicę
Dowód
Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów i otrzymujemy:
- I.
- II.
Dla średnich geometrycznych:
Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.
Dla średnich harmonicznych:
Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.
Zastosowania
- Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | - funkcja
- dziedzina
- liczby naturalne
- podzbiór
|
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|