Ten artykuł od 2011-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.
Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych[potrzebny przypis]. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.
Definicje Heinego
Definicje sformułowane przez Heinego.
Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Liczba jest granicą właściwą funkcji w co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Liczba jest granicą właściwą funkcji w co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności
Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Linki zewnętrzne
Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-19].
Szymon Charzyński, nagrania na kanale Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]:
Wprowadzenie do granic niewłaściwych, 27 marca 2022.
Granice niewłaściwe i asymptoty, 4 kwietnia 2022.
Granice niewłaściwe funkcji wymiernych, 2 maja 2017.